《北航数值分析大作业3》.doc

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文档介绍

一、算法设计方案

1.使用牛顿迭代法,对原题中给出的,,()的11*21组分别求出原题中方程组的一组解,于是得到一组和对应的。

2.对于已求出的,使用分片二次代数插值法对原题中关于的数表进行插值得到。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。

3.从k=1开始逐渐增大k的值,并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合,得到每次的。当时结束计算,输出拟合结果。

4.计算的值并输出结果,以观察逼近的效果。其中。

二、算法实现方案

1、求:

(1)Newton法解非线性方程组

其中,t, u, v ,w为待求的未知量,x, y为代入的已知量。

设,给定精度水平和最大迭代次数M,则解该线性方程组的迭代格式为:

迭代终止条件为,若时仍未达到迭代精度,则迭代计算失败。

其中,雅可比矩阵

(2)分片双二次插值:

根据题目给出的表格,

(其中,)

对于给定的,如果满足

则选择为插值节点,相应的插值多项式为

其中,

如果,则在式(2)中取i=1或i=4; 如果,则在式(2)中取u=1或u=4。

在区域上,将(i=0,1,…,10;0.5+0.2j,j=0,1,…20)代入到非线性方程组(1)中,用Newton法解出,再由分片双二次插值得,则有(i=0,1,…,10;j=0,1,…,20),即求出了。

2、求:

乘积型最小二乘拟合曲面:

(1)求系数矩阵C:

其中,

计算中涉及到对矩阵求逆,接着在后面将会具体说明列主元的高斯消去法求矩阵的逆的方法。

(2)确定最小的k值,拟合曲面:

设,给定精度水平和最大迭代次数N,则确定最小k值的迭代格式为:

迭代终止条件为,若时仍未达到迭代精度,则迭代计算失败。

待确定满足精度条件的最小k值后,就可以进行曲面拟合计算了。

3、关于列主元的高斯消去法求矩阵的逆:

设非奇异矩阵,且 ,则

对B和I列分块,有

其中,

应用列主

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