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电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符∇的微分性与矢量性 推导下列公式 r rr r rr r r r r

∇ =⋅ × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇ (A B) B ( A) (B )A A ( B) (A )B r r r r r 1 2 A ×A∇=× A ∇ A −( A⋅∇) ( ) 2 v vv v vv v v v v 解 1 ∇(A =⋅B) B ×(∇×A) +(B ⋅∇)A +A ×(∇×B) +(A ⋅∇)B 首先 算符∇是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 v v 将作用于 ∇ A B 和 又∇是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 v v v v v v v v v 因此 利用公式 可得上式 其中右边前两项是 作用于 c a ×(b =×a) c b⋅( ⋅ c) −a( b ⋅ ) ∇ v v A 后两项是∇作用于B v v 2 根据第一个公式 令A B 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 df =∇ f∇(u ) u du r r dA ∇=⋅ A ∇u ⋅ (u ) du r r dA ∇=× A∇u × (u ) . du 证明 1 ( ) r ( ) r f ∂(u ) r f ∂u f ∂u df ∂u r df ∂u r df ∂u r df =∇ f (u ) e + e ⋅+ + e ⋅ e +e ⋅ e ∇ u ∂x x ∂y y ∂z z du ∂x x du ∂y y du ∂z z du 2 r r r r r r r r ∂( ) ( ) ∂( ) A u ( ) dA u A u ∂ ( ) dA u ( ) A z u dA u x y z x ∂u y ∂u z ∂u dA ∇=⋅ ( ) + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∇ ⋅ A u u ∂