用正多边形地砖铺满地面学问.doc

用正多边形地砖铺满地面的学问

用什么样的正多边形地砖才能辅潢地面呢?我们知道用地砖平面地面的条件是,判断在每个顶点处围绕一点拼在一起的内角能否合拢,能否围成一个周角360.下面我们分以下几种情况加以讨论:

1.用同一种正多边形地砖平铺.

例1 小芳的父母准备用一种相同的正多边形地砖来辅设新房的客厅,到底用什么形状的正多边形铺设的效果好呢?小芳告诉她父母,若只选用一种相同的地砖来铺满客厅的话,多边形地砖只可能是正三角形、正方形或正六边形的,其他正多边形的地砖均不可选用.小芳的父母对小芳的话半信半疑,你觉得小芳说得有道理吗?如果有道理,请你替小芳解释给她父母听.若没有道理,还有其他多边形地砖可选用吗?请举一例.

析与解 设用个相同的正边形可以铺满地面.已知正边形的内角和为,从而它的每个内角为.现要求个正边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面,于是有=360,由此可以推出.因为是正整数,所以只能是3, 4, 6.即用相同的正多边形地砖来铺满客厅,只有正三角形、正方形或正六边形地砖可以选用.所以小芳的话是有道理的.

说明 用一种正多边形地砖来铺地面可有3种选择:在同一顶点用6个正三角形,或用4个正方形,或用3个正六边形.

2.用两种正多边形地砖平铺.

例2　用个正三角形和个正六边形铺满地面,先求出的值,再分别设计一种铺法.

1234

1

2

3

4

5

2.5

2

1.5

1

0.5

取、舍

舍

取

舍

取

舍

个内角分别为和,所以,

即.根据、是两个正整数,可对

从最小的正整数1开始依次取值,代入方程

中,分别求出的值,根据也是个正整数对、进行舍取.可借助列表的形式来求解(如表所示).从表中可知,或时满足题意.

即可用1个正三角形与4个正方形,或用2个正三角形与2个正方形铺满地面.

铺法如下图所示: