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基于回溯法的排列宝石问题

摘要 本文采用回溯法对排列宝石问题进行分析，详细描述回溯法求解问题时算法的基本思想，并给出具体的算法设计和时间复杂度分析，最后对回溯法进行了总结。

关键字 回溯法 排列宝石问题 时间复杂度 递归

1 排列宝石问题描述：设有n种不同的颜色，同一种形状的n颗宝石分别具有这种不同的颜色。现有n种不同的形状的宝石共n2课，欲将这n2颗宝石排列成n行n列的一个方阵使方阵中每一行每一列的宝石都有n种不同的形状和n种不同颜色。设计一个算法计算出对于给定的n有多少种不同的宝石排列方案。

2 算法设计思想?

确定包含问题的所有解的解空间树，，在包含问题所有解的空间树中，按照深度优先的策略，从开始结点（根结点）出发搜索解空间树。这个开始节点称为活结点，同时也称为当前扩展结点。在当前扩展接点处，探索向纵深方向一直一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展接点。如果当前扩展接点不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）到最近的活结点，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点为止。为了提高回溯发的搜索效率，避免无效搜索，用回溯法搜索至解空间树的任一结点时，总是用剪枝函数先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。在排列宝石问题中回溯法用剪枝函数剪去导致不可行的子树。

3 分析问题

基本思路：首先，初始化n2颗宝石，将n2颗宝石按照每行颜色相同，形状各不相同，每列形状相同，颜色各不相同，排列到矩阵中，并用从 1~n2个数从左到右从上到下一次编号，并用?a[i].use=1;??表示宝石未被使用。可通过