难点攻坚!如何找二面角的平面角.doc

寻找二面角的平面角的方法

二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．

我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．

一、根据平面角的定义找出二面角的平面角

例1 在的二面角的两个面内，分别有和两点．已知和到棱的距离分别为2和4，且线段，试求：

（1）直线与棱所构成的角的正弦值；

（2）直线与平面所构成的角的正弦值．

分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．

根据题意，在平面内作；在平面内作，，连结、．可以证明，则由二面角的平面角的定义，可知为二面角的平面角．以下求解略．

二、根据三垂线定理找出二面角的平面角

例2 如图，在平面内有一条直线与平面成，与棱成，求平面与平面的二面角的大小．

分析：找二面角的平面角，可过作；平面，连结．由三垂线定理可证，则为二面角的平面角．

总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．

（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作”、“连结”、“证明”．

三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角

例3 如图1，已知为内的一点，于点，于点，如果，试求二面角的平面角．

分析：平面．

因此只要把平面与平面、的交线画出来即可．证明为的平面角，（如图2）．

注意：这种类型的题，如果过作，垂足为，连结，我们还必须证明，及为平面图形，这样做起来比较麻烦．