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故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性. 但应用根 式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).那么, 是 否就不需要比式判别法了？请看下面例子. 例11 判别下列级数的敛散性： 解 (i) 因为 由比式判别法，原级数为收敛. (ii) 因为 由根式判别法, 原级数为收敛. 注 由于极限 很难求, 所以上例中的 (i) 不采用根式法. 三、积分判别法 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局 限性较大, 所以还需要建立一些更有效的判别法. 定理12.9 (积分判别法)设 上非负减函数, 那么正项级数 同时 收敛或同时发散. 证 由假设 上非负减函数, 对任何正数 A, f 在[1, A]上可积,于是 依次相加可得 若反常积分收敛,则由(12)式左边,对任何正整数m, 有 根据定理12.5, 级数 收敛. 反之, 若 为收敛级数, 则由(12)式右边, 对任 一正整数 m(>1)有 因为f (x)为非负减函数, 故对任何正数 A, 都有 用同样方法,可以证明 是同时 发散的. 例12 讨论 解 函数 上是非负减函 时发散. 至于 的情形, 则可由收敛的必要条件 知它也是发散的. 例13 讨论下列级数 的敛散性. 解 推得级数 (ii) 在 p > 1时收敛, 在 时发散. 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, 如 果级数的通项收敛速度较慢, 它们就失效了, 如 p 级数. 拉贝(Raabe)判别法是以 p 级数为比较对象, 这类级数的通项收敛于零的速度较慢, 因此较比式 或根式法在判断级数收敛时更精细. *四、拉贝判别法 定理12.10 (拉贝判别法) 设 为正项级数, 且存 证 (i) 故存在正数N, 使对任意n >N ，都有 这样 于是, 当n >N 时，有 推论(拉贝判别法的极限形式)设 为正项级数, 且极限 存在, 则 当s =1, 2, 3