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第五章 用差分法和变分法解平面问题 5－1差分公式的推导 5－2应力函数的差分解 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－5 位移变分方程 5－6 位移变分法 1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。 §6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示 面力 位移函数 应变 应力 结点位移列阵 结点力列阵 ——结点虚位移， ——对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。 §6-2 有限单元法的概念 FEM的概念，可以简述为：用方法求解弹力问题结力。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。 结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。 将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。 与 相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。 （3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为 ——结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。 ——单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。 （6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为 思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连