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第35课时:第四章 三角函数——三角函数的最值
一.课题:三角函数的最值
二.教学目标:掌握三角函数最值的常见求法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.
三.教学重点:求三角函数的最值.
四.教学过程:
(一)主要知识:求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下列基本类型处理:
①,设化为一次函数在闭区间上的最值求之;
②,引入辅助角,化为求解方法同类型①;
③,设,化为二次函数在上的最值求之;
④,设化为二次函数在闭区间上的最值求之;
⑤,设化为用法求值;当时,还可用平均值定理求最值;
⑥根据正弦函数的有界性,即可分析法求最值,还可“不等式”法或“数形结合”.
(二)主要方法:①配方法;②化为一个角的三角函数;③数形结合法;④换元法;⑤基本不等式法.
(三)例题分析:
例1.求函数的最大值和最小值.
解:.
当,,当,.
例2.求函数的最大、最小值.
解:原函数可化为:,
令,
则,∴.
∵,且函数在上为减函数,∴当时,即时,;当时,即时,.
例3.求下列各式的最值:
(1)已知,求函数的最大值;
(2)已知,求函数的最小值.
解:(1),当且仅当时等号成立.
故.
(2)设,则原函数可化为,在上为减函数,∴当时,.
说明:型三角函数求最值,当,时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解.
例4.求函数的最小值.
解:原式可化为,引入辅助角,,得
,∴,由,
得或.
又∵,∴,且,故.∴,故.
例5.《高考计划》考点32,智能训练10:已知,则的最大值是 .
解:∵,
∴,故当时,.
(四)巩固练习:
1.已知函数在同一周期内,当时,取得最大值,当时,取得最小值,则该函数的解析式是 ( )
2.若方程有解,则.
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