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一、二阶常系数线性差分方程的应用

张芳平 指导老师 魏平

摘要 本文介绍一、二阶差分方程的基本概念、解的几种应用以及这些解在计算几种特殊行列式的值和概率论中的应用.

关键词 差分方程 特征值 特征方程 行列式 全概率公式

1.差分方程的概念

含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.

由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程.差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数.或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数.

阶差分方程的一般形式可表示为

， （1）

或， （2）

由于经常遇到是形如（2）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（2）式的差分方程.

若把一个函数代入差分方程中，使其成为恒等式，则称为差分方程的解.含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解.用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件.当时，称为一阶差分方程，当时，称为二阶差分方程

1.1一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为 （3）

其中常数，为的已知函数，当不恒为零时，（3）称为一阶非齐次差分方程；当时，差分方程 . (4)

称为齐次线性差分方程

齐次差分方程的通解形式为

（为任意常数）.

非齐次差分方程的通解形式： （，b为任意常数）. （5）

下面仅就函数为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（5）的特解.根据的形式，按下表确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解.

的形式 特征根的判断 特解的形式 通解的形式

(为与次数相同的多项式) 不是特征根

、为待定系数 是特征根

、为待定常数

令 不是特征根 、为待定常数 是特征根

、为待定常数 1.2二阶常系数线性差分方程

标准形式