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拓朴排序： 拓扑次序：设G（V，E）是一个有向图，它的n个顶点v1、v2、v3、……vn，若顶点次序vi1、vi2、vi3、……、vin 能使得<vij，vik>∈E（G），且j<k，则将顶点间的这种次序称为拓扑次序。 1 6 4 5 3 2 拓朴次序：v1，v6，v4，v3，v2，v5 或v6，v1，v4，v3，v5，v2 特点： 反映后面的顶点依赖前面的顶点； 弧尾结点出现在弧头结点前面。 拓朴排序算法的基本思想： 根据顶点入度是否为0，来决定该点是否可输出，入度为0（即没有前驱），则输出； 输出一个顶点后，由该点引出的弧所对应的弧头顶点的入度减1； 重复a）、b），至n。 若输出顶点数小于n，则证明存在回路（环）。 1 4 6 5 3 2 1 6 4 3 2 5 拓朴次序 拓朴排序算法的实现： 用邻接表存储表示AOV网，在表头结点中设置入度域； 用栈存放入度为0的结点； 用表头中入度为0的入度域作为栈的结点。 拓朴排序算法的描述： 查邻接表中入度为0的结点，并将之压入堆栈； 栈非空时，做： 输出栈顶元素； 将输出顶点的后继顶点的入度减1； 计算输出顶点个数：m＝m＋1； 入度为0的入栈。 判断：当m < n时，证明有回路（环）。 ！注： 拓扑排序可以检验有向图是否有环； 还可用深度优先遍历的方法检查有向图是否有环。 关键路径： AOE网（ Active on Edges）：顶点表示事件，边表示活动以及所需时间。 v3 v1 v2 v4 v5 a1=6 a4=1 a5=1 a6=2 a3=5 a2=4 v8 v7 v6 v9 a10=2 a7=9 a8=7 a11=4 a9=4 关键路径（Critical Path）：从源点v1到汇点v9的最长路径叫关键路径。 v3 v1 v2 v4 v5 a1=6 a4=1 a5=1 a6=2 a3=5 a2=4 v8 v7 v6 v9 a10=2 a7=9 a8=7 a11=4 a9=4 源点（起点）：入度为0。 汇点（终点）：出度为0。 几个概念： ve(i)：vi的最早开始时间=v1到vi的最长路径，ve(n)=工程完成时间。 vl(i)：vi的最迟开始时间 = vn－vi到vn的最长路径。 e(k)：活动ak的最早开始时间，若ak=<vi,vj> 则e(k)=ve(i)。 l(k)：活动ak的最迟开始时间，若ak=<vi,vj> 则l(k)=vl(j)- ak。 l(k)－e(k)：活动ak的松弛时间 slack time，若l(k)=e(k)则ak叫做关键活动 。 ve(i),vl(i)的递归算法（以拓扑排序递归）： ve(0)=0; ve(j)=max{ ve(i)+dut<i,j>, <i,j>∈T} dut<i,j> =边ak,<vi,vj>的长 T是所有以vj为终点的边的集合 vl(n-1)=ve(n-1) vl(i)=min{vl(j)-dut<i,j>, <i,j>∈S} S是所有以vi为起点的边的集合 vi vj ak v3 v1 v2 v4 v5 a1=6 a4=1 a5=1 a6=2 a3=5 a2=4 v8 v7 v6 v9 a10=2 a7=9 a8=7 a11=4 a9=4 Ve Vl v1 0 0 v2 6 6 v3 4 6 v4 5 8 v5 7 7 v6 7 10 v7 16 16 v8 14 14 v9 18 18 a1 0 0 * a2 0 2 a3 0 3 a4 6 6 * a5 4 6 a6 5 8 a7 7 7 * a8 7 7 * a9 7 10 a10 16 16 * a11 14 14 * 六、最短路径 几个概念： 路径：从顶点v1到顶点vx所经历的边的集合，称为顶点v1到顶点vx的路径。 路径长度： 由顶点v1到顶点vx所经历的边的数目。 由顶点v1到顶点vx所经历的边上的权值之和。 单源点最短路径问题：给定带权有向图G和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。 ！注意： 每个结点只能被访问一次，又因为一个结点可以和其它的任何结点相邻接，为了避免对一个结点的重复访问，必须对访问过的结点加以标记。 结点的邻接结点的次序是任意的，因此广度优先搜索的序列可能有多种。 访问方式： 选中第一个被访问的结点V； 对结点V作已访问过的标志。 依次从结点 V 的未被访问过的第一个、第二个、第三个、……第M个邻接点 W1、W2、W3…… Wm，且进行标记。 依次访问结点 W1、W2、W3…… Wm的邻接点